پایگاه اطلاع رسانی وحید باقر پور کاشانی وحید باقر پور کاشانی
عدد و شمارش
دقیقا مشخص نیست که انسان پیش از تاریخ، چه زمانی از مفاهیمی همچون عدد و شمارش استفاده کرده است. اما لزوماْ به مفاهیمی همچون کم و زیاد، تعداد افراد قبیله، میزان وسایل زندگی خود و دیگران، تعداد دوست و دشمن و چیزهایی از این قبیل نیاز داشت. آنگونه که از گزارشهای باستان شناسان بر می آید، معمولا از روش تناظر یک به یک استفاده میکرد (رجوع کنید به شکلهای صفحه ۸ و ۹ و پاورقی صفحه ۹ از کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). با پیشرفت بشر و نیاز به شمارشهای وسیعتر،انگشتان به عنوان پایه و مبنای شمارش، انتخاب و به هر انگشت، نمادی منسوب شد و اعداد بزرگتر به به صورت ترکیبی ار این نمادها نوشته شدند. به طو مثال دوازده یعنی دو از ده و twelve که که احتمالاْ از twe lif (دو روی ده) گرفته شده است. البته اعداد ۲، ۳، ۴، ۵، ۱۲، ۲۰ و ۶۰ نیز قرنها در میان قبایل و اقوام مختلف به عنوان مقیاس به کار رفته است. چند مثال برای اعداد رومی در پایه ۱۰ :
علائم اصلی برای نوشتن اعداد رومی:
اعداد اصلی
۱-۲-۳-۱۰-۱۰۰-۱۰۰۰-۵-۵۰-۵۰۰
علائم اصلی
I -II -III -X -C -M -V -L -D
برای نوشتن اعداد، رومیها از قانونی به نام اصل تفریق استفاده میکردند، بدین ترتیب که وقتی علامتی برای واحد کوچکتر قبل از علامت به کار رفته برای واحد بزرگتر قرار می گرفت، به معنی تفاضل این دو واحد بود. به چند مثال در جدول زیر توجه فرمایید:
عدد
علامت رومی
۴ -IV -9 -IX -200 -CC -1944 -MCMXLIV
دستگاه شمارش رمزی یا الفبایی یونانی:
در این دستگاه، از ۲۷ رمز برای نوشتن اعداد استفاده می شد..:
دستگاه شمارش موضعی:
در این دستگاه، ابتدا یک پایه b انتخاب و سپس نمادهایی برای ۰، ۱، ۲،…، b-۱ معین میشود. هر عدد طبیعی n را می توان به طور یکتا به صورت زیر نوشت:
.در این صورت n را با نمایش میدهیم، که . اگر b=۱۰ ، این دستگاه را “دستگاه شمار هندی- عربی” گوییم. این دستگاه به هندیان که احتمالاْ مخترع آن هستند و به مسلمانان که آنرا تکمیل کردند و به دیگران آموختند، منسوب است. ظاهراْ بابلیهای قدیم، در فاصله های بین ۳۰۰۰ و ۲۰۰۰ قبل از میلاد، دارای یک دستگاه شمار در پایه ۶۰ بودند. البته این دستگاه برای صفر علامتی نداشت. بد نیست بدانیم که قوم مایاها در آمریکا از دستگاهی استفاده می کردند که اساساْ در مبنای ۲۰ بود و علامتی برای صفر هم داشتند.
جمع و ضرب اعداد:
روشهای جمع و ضرب کنونی، قدمت زیادی ندارند و در قرن پانزدهم میلادی ابداع شدند. اما ظاهرا علت پیدایش دیررس این روشها، ممکن است به دو علت مشکلات ذهنی ( به خاطر نقص در دستگاههای شمارش با نمادهای بسیار) و نیز مشکلات مادی (مانند نبودن کاغذ) باشد. بشر تا حدی با اختراع چرتکه این مشکل را حل کرد. اما روشهای کنونی،مدیون اختراع هندیان و نیز تکامل آن به وسیله مسلمین است
– به ویژه خوارزمی که نقش برجسته ای در این کار دارد. نماد صفر را هندیان وارد دستگاه شمارش کردند و لازم است ذکر شود که zero ی انگلیسی احتمالاْ از زفیروم (به کسر زا ء) لاتین و آن از صفر عربی و آن از سونیای هندی به معنی پوچ یا تهی گرفته شده است. نیز واژه کنونی cipher انگلیسی، همان صیفرای عربی است.
۲. ریاضیات بابلی و مصری
با پیشرفته تر شدن جامعه بشری، انسان به ریاضیات عملی برای کارهای کشاورزی، مهندسی، علوم مالی و بازرگانی، محاسبات مربوط به زمان و تقویم، سنجش اوزان و مقادیر و … نیازمند شد. کم کم با تقویت ذهن بشر، انسان به تجرید گرایش پیدا کرد و ریاضیات را برای ریاضیات مورد مطالعه قرار داد و در نتیجه، تمدنهایی همچون بابل، مصر، چین و هند ایجاد شد. حال به بررسی مختصر تاریخ ریاضی بابل و مصر باستان می پردازیم به دودلیل: یکی اینکه این دو از پیشرفته ترین تمدنهای باستانی هستند و دیگر اینکه سندهای معتبری از ریاضیات تمدنهای مهم دیگر مانند چین و هند باستان در دست نیست. (البته در قسمتهای بعدی، مختصرا به این دو تمدن نیز خواهیم پرداخت. ) ریاضیات بابلی:
بررسی لوحهای پخته، نشان ازمهارت بسیار بابلیها در محاسبه دارد. بسیاری از محاسبات عددی که برای انواع و اقسام قراردادهای رسمی و غیر رسمی مانند صورت حساب، رهن، قباله و ضمانت لازم بود، به کمک جداول انجام می شد، مانند جداول ضرب ، جداول معکوس اعداد،
جداول مربعات و مکعبات و جداول توانها. این محاسبات بر حسب دستگاه موضعی شصتگانی بوده اند.
احتمالاْ بابلیها با با قواعد کلی محاسبه مساحتهای اشکال دو بعدی – مانند مستطیل، مثلث و ذوزنقه- و سه بعدی – مانند مکعب مستطیل- و حتی محاسبه مساحت دایره آشنا بوده اند و عدد پی را سه یا سه و یک هشتم در نظر می گرفته اند.
تقسیم محیط دایره به ۳۶۰ قسمت را مدیون بابلیها هستیم.
آنها احتمالا با قضیه فیثاغورس نیز آشنا بوده اند. در تجزیه و تحلیل لوح معروفی به نام پلیمپتن (Polimpton) مشخص شده است که آنها با سه تاییهای فیثاغورسی و جداول مثلثاتی به طور حیرت آوری آشنا بوده اند.
ظاهرا روش حل بعضی از معادلات درجه ۲، ۳ و حتی درجه ۴ را نیز می دانسته اند.
توجه کنید که ریاضیات ایران باستان را نیز می توان جزئی از ریاضیات بابلی دانست.
ریاضیات مصر باستان:
· آنگونه که از بررسی پاپیروسهای به جا مانده از مصریان قدیم می توان گفت این است که سطح ریاضی مصریان قدیم، هرگز به ریاضیات بابلی نرسید. بیشتر مسائل ریاضی باقیمانده از مصریان باستان، عددی و بسیار ساده هستند. اما از بعضی لحاظ، ریاضیات مصری را نمی توان نادیده گرفت. به طور مثال، مصریان از اعداد بزرگ مانند صدهزار و یک میلیون استفاده می کرده اند و دقت محاسبه ای که در ساختن اهرام مصر به کار رفته، واقعاْ حیرت آور است.
· مصریان، ضرب و تقسیم اعداد را به گونه ای جالب انجام می دادند به طویکه نیازی به حفظ کردن جدول ضرب نبود.
· مصریان سعی می کردند کسرها را به صورت مجموعی از کسرها با صورت یک بنویسند و به این وسیله مجموع کسرها را راحت تر به دست می آوردند.
· احتمالاْ از تصاعدهای حسابی و هندسی نیز استفاده می کرده اند.
· در جبر مصری تا حدی نماد گرایی نیز وجود داشت و نمادهایی برای جمع و تفاضل داشتند.
· ظاهراْ قاعده محاسبه مساحت مثلث را می دانستند و با بعضی از نسبتهای مثلثاتی(مانند کتانژانت) آشنا بوده اند.
· عدد پی را حدوداْ ۳/۱۶ حساب می کردند.
· ظاهراْ از قضیه فیثاغورس هیچ اطلاعی نداشتند، اما زاویه قائمه را با ساختن مثلثی به اضلاع ۳، ۴ و ۵ می ساختند.
· بعضی از مسائل (همچون محاسبه درست هرم ناقص مربع القاعده) در پاپیروسهای مصری موجود است که نظیر آن در هیچ جای دیگری از شرق باستان، یافت نشده است.
۳. ریاضیات یونان باستان
با شروع هزاره اول میلادی و با افول تمدن بزرگ مصر و بابل، کم کم تمدنهای جدیدی مانند تمدن یونانی، فنیقی و آسوری پا به عرصه وجود گذاشتند. با تکامل ذهنی بشر، انسان با کلمه «چرا» مانوس تر شد.
– چرا زوایای متقابل به راس با هم برابرند؟ – چرا در مثلث متساوی الساقین دو زاویه روبه رو به دو ساق برابرند؟ – …؟
به این ترتیب، ریاضیات برهانی متولد شد و یونانیان در این امر پیشتاز بوده اند. در این قسمت به طور بسیار خلاصه، به نام و کارهای ریاضیدانان یونانی به ترتیب زمانی خواهیم پرداخت.
۱٫ تالس یکی ریاضیدانانی است که برای اولین بار به وسیله استدلال منطقی و بدون استفاده از شهود، چند قضیه مهم هندسه را ثابت کرد. (مراجعه کنید به صفحه ۶۵ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز)
۲٫ فیثاغورس (یا به عبارت درست تر فیثاغورسیان که پیروان و شاگردان او بودند) نیز سهم بسزایی در تکامل ریاضیات برهانی داشت. خلاصه ای از کارهای فیثاغورسیان را مرور می کنیم:(الف) این گروه اولین قدمها را در رشد نظریه اعداد برداشتند، مانند معرفی اعداد متحابه، تام، ناقص و زاید (مراجعه کنید به صفحه ۷۰ و ۷۱ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز ) و نیز معرفی اعداد مصور مثلثی، مربعی، مخمسی (مراجعه کنید به صفحه ۷۲ تا ۷۴ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).(ب) اولین برهان منطقی و درست از قضیه فیثاغورس که بابلیان قدیم بدون برهان از آن استفاده می کردند.(ج) کشف عدد گنگ که یکی از حوادث مهم تاریخ ریاضیات است.(د) ابداع جبر هندسی برای بیان اتحادهای جبری در قالب اصطلاحات هندسی. برای توضیح بیشتر، اتحاد را به این وسیله با شکل زیر «ثابت» می کنیم:(ه) حل هندسی معادلات درجه دوم. برای مثال با فرض اینکه a و b دو عدد مثبت باشند، طول x را چنان به دست می آوریم که x جواب معادله باشد. این کار را در شکل زیر انجام داده ایم. (با این کار می توان برای هر عدد طبیعی n، را رسم کرد. کافیست دایره ای به قطر n+1 رسم کنیم.)
(و) معرفی بعضی از اجسام پنجگانه افلاطونی یا اجسام منتظم پنجگانه (یک چند وجهی را منتظم گوییم اگر وجوه آن چند ضلعی های منتظم مساوی باشند و کنجهای آن نیز همگی برابر. )(ز) بسط روش اصل موضوعی که اثبات یک ادعاست به وسیله سلسله استنتاجهای دقیق از چند فرض آغازین که کاملاْ مشخص هستند.
۳٫ افلاطون و شاگردان او: تقریباْ تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم قبل از میلاد به وسیله شاگردان افلاطون انجام شده است و آنها حلقه ارتباط بین فیثاغورسیان و ریاضیدانان مکتب اسکندریه بودند. نظر افلاطون درباره ریاضییات این بود که این علم عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می سازد و اداره کنندگان جامعه باید ریاضی بدانند. معروف است که افلاطون بر سر در آکادمی خود نوشته بود: «هر کس هندسه نمی داند وارد نشود.»کارهایی که معاصران افلاطون انجام دادند:
(الف) کشف مقاطع مخروطی (مقاطع مخروطی معمولا شامل دایره، سهمی، هذلولوی و بیضی میشود.) (ب) تضعیف مکعب (چگونگی ترسیم ضلعی از یک مکعب -فقط با خط کش و پرگار- که حجم آن مکعب دو برابر حجم مکعبی مفروض است.)(ج) تثلیث زاویه (چگونگی تقسیم یک زاویه دلخواه به سه قسمت مساوی-فقط با خط کش و پرگار)(د) تربیع دایره (چگونگی ساختن مربعی که دارای مساحتی برابر با مساحت دایره مفروضی باشد -فقط با خط کش و پرگار)توضیح: توجه کنید که می توان ثابت کرد هیچکدام از کارهای بالا -یعنی تضعیف مکعب، تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمی توان فقط به وسیله خط کش و پرگار انجام داد که داستان مفصل و جالبی برای خود دارد. همچنین توجه کنید که تربیع دایره پیوند نزدیکی با محاسبه عدد پی دارد (در صفحه ۱۱۶ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز،می توانید تاریخچه زیبایی از عدد پی را مشاهده فرمایید که شامل ۳۸ مدخل است از کارهای یونانیان، مسلمین، اروپائیان و ریاضیدانان عصر جدید درباره این عدد.)
۴٫ اقلیدس: او استاد ریاضییات دانشگاه اسکندریه بود و احتمالاْ در آتن یونان درس خوانده است. اقلیدس در دوران خود، به فروتنی و توجهش به دیگران معروف بود. بد نیست بدانیم که اسکندریه در آن زمان در حدود پانصد هزار نفر جمعیت داشت و دانشگاه آن بسیار بزرگ و مجهز به سالنهای سخنرانی، آزمایشگاه، خوابگاه و کتابخانه بود و در این کتابخانه حدوداْ ششصد هزار طومار پاپیروس وجود داشت و حدود هزار سال پابرجا ماند.
– اقلیدس حدود ۱۰ کتاب تالیف کرده است که مهمترین اثر او کتاب اصول اوست که شاید یکی از مهمترین کتابهای تمام تاریخ بشر باشد. لازم است بدانیم که این اثر به وسیله مسلمین به دست اروپائیان رسید و اروپائیان اصول اقلیدس را از عربی به لاتین ترجمه کردند. این کتاب شامل ۱۳ مقاله و حاوی ۴۶۵ قضیه درباره هندسه مسطحه، هندسه فضایی، نظریه اعداد و جبر مقدماتی هندسی است.
– قضایای معروف این کتاب: آلگوریتم اقلیدسی (برای تشخیص متباین بودن دو عدد)، قضیه اصلی حساب و اثبات این که تعداد اعداد اول بی نهایت است.
– احتمالاْ این کتاب تدوینی منظم و زیبا از آثار ریاضیدانان قبل از اقلیدس به همراه کارهای خود اقلیدس است و شاید قصد او از تالیف این کتاب این بوده است که یک کتاب درسی مقدماتی در ریاضی عمومی بنویسد. البته اقلیدس در ریاضیات عالی نیز کتابهای درسی تالیف کرده است.
– به نظر می رسد که مهمترین کار او در این کتاب آن باشد که سعی کرده است تمام ۴۶۵ قضیه را فقط بر اساس ۱۰ اصل موضوع اثبات کند.(مراجعه کنید به صفحه ۱۵۰ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز)
۵٫ ارشمیدس: اروپائیان معمولاْ «ارشمیدس»، «نیوتن» و «گاوس» را بزرگترین ریاضیدانان همه اعصار می دانند. اگر این مطلب درست هم نباشد، ظاهراْ می توان گفت ارشمیدس بزرگترین ریاضیدان عهد باستان بود.
– حدوداْ در سال ۲۸۷ قبل از میلاد متولد شد و به احتمال قوی مقداری از عمر خود را در دانشگاه اسکندریه گذراند.
– درباره زندگانی ارشمیدس مطالب جالبی نقل شده است: دفاع از سیراکوز (شهر ارشمیدس) در مقابل سپاه روم و شکست رومیان فقط به وسیله اهرمها و جرثقیلها و نیز تمرکز ذهنی بسیار قوی بطوریکه هنگام حل مساله از اطراف خود کاملا بی خبر می شد- و همین بی خبری بالاخره باعث مرگ او شد.
– ارشمیدس سه کتاب درباره هندسه مسطحه، دو کتاب درباره هندسه سه بعدی، دو مقاله درباره نظریه اعداد، دو رساله (نامه) درباره ریاضیات کاربردی (در واقع فیزیک ریاضی) و یک رساله (نامه) تحت عنوان «روش» دارد که روش او را در کشف بسیاری از قضایا شرح می دهد. این رساله در سال ۱۹۰۶ میلادی کشف شد.
– مقاله های ارشمیدس شاهکارهایی از بیان ریاضی هستند و تا حد قابل توجهی به مقاله های امروزی شباهت دارند.
– او در بسط اولیه مفاهیم انتگرال برای محاسبه مساحتها و حجمها نقش اساسی دارد. او روش کلاسیک برای محاسبه «عدد پی» را کشف کرد. در این روش با ترسیم چند ضلعیهای محاطی و محیطی برای دایره واحد، به تقریب جالبی برای «عدد پی» می رسیم.
– ارشمیدس – به ادعای ابوریحان بیرونی – کاشف فرمول مشهور «هرون» برای مساحت مثلث برحسب سه ضلع آن است.
– او در رساله ای درباره مقدار تقریبی دانه های شنی که کره ای به مرکز زمین و به شعاع زمین تا خورشید را پر نماید، صحبت کرده است.
– در رساله دیگری سعی می کند که یک معادله هشت مجهولی با مقادیر صحیح را که به وسیله هفت معادله خطی به هم مربوط شده اند، حل کند و یکی از جوابهای این معادله عددی است با بیش از «۲۰۶۵۰۰» رقم!!
۶٫ آپولونیوس: هندسه دان کبیر باستان و واضع رسمی مقاطع مخروطی که نامهای یونانی بیضی، سهمی و هذلولوی به وسیله او به این شکلهای هندسی داده شده است.
۷٫ دیوفانتوس: این ریاضیدان، دارای نبوغ عجیبی در نظریه جبری اعداد بود و مسائل ارائه شده توسط او در بسط جبر و نظریه اعداد اهمیت بسیاری دارند. پاپوس: شارح بزرگ آثار هندسه دانان یونانی که ما قسمت عمده دانش خود را از هندسه یونان باستان، به رساله بزرگ او مدیونیم.
۴. ریاضیات چین و هند
مختصری از تاریخ ریاضیات چین از حدود ۱۰۰۰ قبل از میلاد تا قرن ۱۴ بعد از میلاد:- چینیان باستان با حساب دهدهی آشنایی داشتند و از آن در محاسبات علمی و روزمره استفاده می کردند.
– ابداع مربعهای جادویی
– آنها با قضیه فیثاغورث -بدون برهان – آشنایی کامل داشتند.
– آنها «قضیه چینی» که قضیه مشهوری در جبر و درباره حل معادلات همنهشتی خطی است، به جهان ریاضیات تقدیم کردند.
– در بعضی از آثار آنها، محاسبه درست «عدد پی» تا ۶ رقم اعشار دیده می شود.
– احتمالاْ مثلث حسابی معروف «خیام-پاسکال»، اولین بار به وسیله چینیان ارائه شده است.
مختصری از تاریخ ریاضیات هندی از حدود ۴۵۰ میلادی تا قرن ۱۴ بعد از میلاد:
– معرفی عمل ضرب به شیوه کنونی
– به دست آوردن مجموع تصاعد های حسابی و هندسی
– آشنایی با اعداد منفی و گنگ
– حل کامل معادلات درجه ۲
– یافتن همه جوابهای بعضی از معادلات سیاله
– به دست آوردن فرمول هرون برای محاسبه مساحت مثلث و تعمیم آن به یک چهار ضلعی محاطی-
رجوع شود به صفحه ۲۲۵ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز.
– ساختن جداولی برای سینوسها
– سه ریاضیدان معروف قدیم هند «برهمگوپته»، «مهاویره» و «بهاسکره» هستند که به ترتیب در قرون هفتم، نهم و دوازدهم میلادی می زیستند. ریاضیدان معروف قرون جدید هند، نابغه هندی «رامانوجان» است که در نظریه اعداد کارهای بزرگی انجام داد و حدوداْ ۳۳ سال بیشتر عمر نکرد.
– سخن ابوریحان بیرونی :«ریاضیات هندی مخلوطی از صدف و خزف یا ممزوجی از درّ پر بها و سنگریزه بی بها است» (این جمله به خوبی نشان دهنده تسلط ریاضیدانان مسلمان است بر ریاضیات زمان خود که می توانستند ریاضیات عالی را از مقدماتی تمییز و درباره آن اظهار نظر کنند.)
گرد آوری: گروه دانش وتکنولوژی سایت تبیان زنجان
