منطق نمادین – قسمت دوم- نماد برای ترکیب عطفی، نقیض و ترکیب فصلی

نماد برای ترکیب عطفی، نقیض و ترکیب فصلی

دراین فصل با استدلالهای نسبتاً ساده سروکار خواهیم دشت؛ از قبیل:

زندانی نابینا یک کلاه قرمز دارد یا زندانی نابینا یک کلاه سفید دارد.
زندانی نابینا کلاه قرمز ندارد.
بنابراین زندانی نابینا کلاه سفید دارد.

و

اگر آقای رابینسون همسایه دیوار به دیوار سوزنبان است، آنگاه آقای رابینسون در نیمه راه بین دیترویت و شیکاگو زندگی می کند.
آقای رابینسون در نیمه راه دیترویت و شیکاگو زندگی نمی‌کند.
بنابراین آقای رابینسون همسایه دیوار به دیوار سوزنبان نیست.

هراستدلال ازاین نوع دارای حداقل یک گزاره مرکب است. برای بررسی این نوع استدلال‌، گزاره‌ها را به دو رده ساده و مرکب تقسیم میکنیم. یک گزاره ساده برخلاف گزاره مرکب شامل گزاره دیگری نیست. برای مثال “پرویز آراسته است” یک گزاره ساده است. یک گزاره مرکب شامل گزاره دیگری بعنوان مؤلفه است. برای مثال گزاره “پرویز آراسته است و پرویز خوش مشرب است” یک گزاره مرکب است، زیرا دارای دو گزاره ساده است. در منطق برای پیکربندی تعاریف و اصول باید دقت کافی داشت. بیشتر مواقع چیزی که به نظر ساده جلوه میکند بعداً مشخص میشود بیشتر از آنچه تصور میشد پیچیده است. تصور گزاره مرکب مورد مناسبی بری علت این احتیاط است.

امکان دارد تصور شود مؤلفه یک گزاره فقط بخشی از یک گزاره است که خود نیز یک گزاره باشد. اما این توصیف آنرا بطور دقیق تعریف نمیکند زیرا یک گزاره ممکن است بخشی از یک گزاره بزرگتر باشد ولی بمعنای واقعی مؤلفه آن نباشد. برای مثال این گزاره را مشاهده نمائید: “مرد شلیک کننده به لینکلن یک هنرپیشه بود”. آشکار است که ۴ واژه پایانی این گزاره بخشی از آن است که خود میتواند به عنوان یک گزاره تلقی شود؛ و این نیز درست یا نادرست است که لینکلن یک هنرپیشه بود. اما گزاره “لینکلن یک هنرپیشه بود” مؤلفه یک گزاره بزرگتر نیست.

این مسئله را میتوان اینگونه توضیح داد؛ برای آنکه بخشی از یک گزاره مؤلفه آن گزاره نیز باشد، دو شرط باید برقرار باشند: (۱) آن بخش باید به خودی خود یک گزاره باشد؛ و (۲) اگر آن بخش از گزاره بزرگتر با هر گزاره دیگر عوض شود، آنگاه نتیجه این تعویض نیز معنی دار و قابل فهم باشد.

شرط اول در مثال لینکلن که در بالا آمد برقرار است، اما شرط دوم برقرار نیست. فرض کنید بخش “لینکلن یک هنرپیشه بود” با “در آفریقا شیر وجود دارد” عوض شود. نتیجه این تعویض فاقد معنا خواهد بود: “شلیک کننده به لینکلن در آفریقا شیر وجود دارد”. عبارت مؤلفه چیز سختی برای فهمیدن نیست اما – مانند همه عبارت‌های منطقی – باید با دقت تعریف و بدقت بکار برده شود.

 آ.  ترکیب عطفی/Conjunction

انواع مختلف گزاره‌های مرکب وجود دارد، که هریک نیازمند به نماد منطقی ویژه خود است. اولین نوع از گزاره مرکب را که بررسی خواهیم کرد، ترکیب عطفی دو گزاره است. ترکیب عطفی دو گزاره را میتوان با قراردادن واژه “و” بین آنها تشکیل داد؛ به هر یک از دو گزاره که اینگونه بهم می‌پیوندند، یک عطف/پیوست ترکیب عطفی می‌گویند. بنابراین گزاره مرکب “پرویز آراسته است و پرویز دلپذیر است” یک ترکیب عطفی است که پیوست اول آن “پرویز آراسته است” و پیوست دوم آن  “پرویز خوش مشرب است” است.

گرچه واژه “و” یک واژه کوتاه و راحت است، اما بجز برای ترکیب دوگزاره موارد کاربرد دیگر هم دارد. برای مثال، گزاره “لینکلن و گراند رقیب هم بودند” یک ترکیب عطفی نیست، بلکه یک گزاره ساده و بیانگر یک رابطه است. برای داشتن یک نماد یگانه که وظیفه آن فقط پیوست گزاره‌ها برای ترکیب عطفی باشد، نقطه “•” را معرفی میکنیم. بنابراین، ترکیب عطفی مثال را میتوان بصورت “پرویز مرتب است • پرویز خوش مشرب است” نوشت. بطور کلی اگر p و q دو گزاره – هر چه که می‌خواهند باشند- آنگاه ترکیب عطفی آنها را بصورت p • q مینویسیم. در بعضی کتاب‌ها نماد های دیگری، برای مثال “∧” یا  “&”، را بکار می‌برند.

از آنجا که می‌دانیم هر گزاره درست است یا نادرست است، بنابراین میتوان گفت هر گزاره دارای یک مقدار ارزش است، بدینگونه که یک گزاره درست دارای مقدار ارزش درست است و  یک گزاره نادرست دارای مقدار ارزش نادرست است  با بکارگرفتن این مفهوم بر حسب اینکه آیا مقدار ارزش یک گزاره مرکب به تمامی توسط مقدار ارزش مؤلفه‌های خود معین میشود یا از هر چیز دیگر بجز مقدار ارزش مؤلفه‌های آن – میتوان آنها (گزاره‌های مرکب) را به دو رده مجزا تقسیم کرد.

این تمایز(رده بندی) را برای ترکیب عطفی بررسی میکنیم. مقدار ارزش ترکیب عطفی دو گزاره به تمامی توسط مقدار ارزش دو مؤلفه آن تعیین میشود. اگر ارزش هر دو مؤلفه ترکیب عطفی درست باشند آنگاه مقدار ارزش ترکیب عطفی درست است؛ در غیر اینصورت نادرست است. به این دلیل گفته‌میشود یک ترکیب عطفی یک گزاره مرکب تابع–ارزش است و نیز گفته می‌شود مؤلفه‌های عطفی آن مؤلفه‌های تابع-ارزش آن هستند.

چنین نیست که هر گزاره مرکب تابع-ارزشی باشد. برای مثال، مقدار ارزش گزاره مرکب “اتلو عقیده دارد که دزدمونا عاشق کاسیو است” به هیچ طریق توسط گزاره ساده مولفه‌ای آن “دزدمونا عاشق کاسیو است” تعیین نمیشود، اینکه اتلو عقیده دارد دزدمونا عاشق کاسیو است، فارغ از آنکه دزدمونا عاشق کاسیو است یا نه، میتواند درست باشد. بنابراین مؤلفه “دزدمونا عاشق کاسیو است” یک مؤلفه تابع-ارزش برای گزاره “اتلو عقیده دارد دزدمونا عاشق کاسیو است” نیست و خود این گزاره مرکب نیز یک گزاره مرکب تابع-ارزش نیست.

برای قصدی که اکنون داریم چنین تعریف میکنیم که مؤلفه یک گزاره مرکب، یک مؤلفه تابع-ارزش است هرگاه آن مؤلفه در گزاره مرکب با یک گزاره دیگر که دارای مقدار ارزش یکسان است تعویض شود، آنگاه گزاره مرکب جدیدی که از این تعویض بدست میاید دارای مقدار ارزش یکسان با گزاره مرکب اول باشد. اکنون گزاره مرکبی را که همه مؤلفه‌های آن مؤلفه‌های تابع-ارزش باشند به عنوان یک گزاره مرکب تابع–ارزش تعریف میکنیم[۱].

تمرکز ما بر آن گزاره‌های مرکبی خواهد بود که ترکیب تابع-ارزش هستند. بنابراین در بقیه این کتاب منظور از گزاره ساده هر گزاره‌ای است که ترکیب تابع-ارزشی نباشد.

ترکیب عطفی یک گزاره مرکب تابع-ارزش است، و بنابراین نماد نقطه یک رابط تابع-ارزش است. هرگاه دو گزاره p و q داده شده باشند، آنگاه فقط چهار دسته مقدار ارزش برای آنها میتواند وجود داشته باشد. این چهار حالت ممکن برای مقدار ارزش یک ترکیب عطفی میتوانند را میتوتان بشیوه زیر نمایش داد.

وقتی p درست است و  q درست است، p • q راست است.
وقتی p درست است و  q نادرست است، p • q دروغ است.
وقتی p نادرست است و  q درست است، p • q دروغ است.
وقتی p نادرست است و  q نادرست است، p • q دروغ است.

اگر مقادیر ارزش “درست” و “نادرست” را با دو حرف بزرگ لاتین T برای درست ( True) و F را برای نادرست (False) نشان دهیم، میتوان مقدار ارزش یک ترکیب عطفی را برحسب مقادیر ارزش مؤلفه‌های عطفی آن به شیوه فشرده‌تر و در عین حال آشکارتر توسط جدول ارزش نشان داد.

از آنجا که این جدول توضیح میدهد p • q در هر حالت ممکن چه مقدار ارزشی دارد، میتوان آنرا بعنوان تعریف نماد • در نظر گرفت.

گزاره های ساده را توسط حروف بزرگ لاتین کوتاه نویسی کرده و بیشتر بخاطر آنکه بیاد داشته که چه گزاره‌ای را کوتاه نویسی کرده‌ایم حرفی را انتخاب می کنیم که یادآور گزاره کوتاه‌شده باشد. بنابراین گزاره “پرویز آراسته است و پرویز خوش مشرب است” را بصورت A • M کوتاه نویسی میکنیم.

در بعضی ترکیب‌های عطفی، هر دو مؤلفه ترکیب دارای یک حد موضوع مشترک هستند: مثل، “سعدی یک شاعر بزرگ است و سعدی یک جهانگرد بزرگ است”. معمولاً بخاطر ایجاز و شاید کارائی بیشتر در زبان فارسی “و” را بین حدهای محمول قرارداده و حد موضوع تکرار نمیشود. مثل “سعدی شاعربزرگ و جهانگردبزرگ است”. برای آنچه مقصود ماست، حالت دوم را یک پیکربندی(فرمول) یکسان با اولی در نظر میگیریم و هر یک از آنها را بدون تفاوت بصورت S • J نمادین میکنیم. در زبان فارسی، چنانچه هر دو مؤلفه ترکیب عطفی دارای حد محمول یکسان باشند، مثل “بایزید بسطامی عارف بزرگ بود و شیخ خرقان عارف بزرگ بود” حرف عطف “و” را بین حدهای موضوع قرار داده و از تکرار حد محمول پرهیز میشود، مانند “بایزید بسطامی و شیخ خرقان عارف بزرگ هستند”. ما هر دو را بصورت B • K پیکربندی (فرموله) میکنیم.

همانطور که برای تعریف نماد نقطه توسط جدول ارزش گفتیم، یک ترکیب عطفی فقط و فقط وقتی درست است که هر دو مؤلفه عطفی آن درست باشند. واژه “و” یک مورد کاربرد دیگر دارد و آن اینکه نه تنها دلالت (وابستگی ارزشی) به ترکیب عطفی دارد، بلکه از آن برداشت “و در نتیجه” که در آن تعاقب زمانی است، نیز میشود. بنابراین گزاره “پروین در تهران وارد کشور شد و مستقیم رهسپار اصفهان شد” دارای معناست و میتواند راست نیز باشد؛ حال آنکه “پروین مستقیم رهسپار اصفهان شد و در تهران وارد کشور شد” بسختی میتواند قابل فهم باشد. و همینطور تفاوت مشخصی بین “کفش‌هایش را درآورد و به بستر رفت” و “به بستر رفت و کفش‌هایش را درآورد” وجود دارد.[۴]. اینگونه مثال‌ها، نیاز به داشتن یک نماد انحصاری برای کاربرد در مورد ترکیب عطفی تابع-ارزشی را نشان میدهند. {دریک موسسه وکالتی تکزاس  در تاریخ ۲۷ اکتبر۱۹۹۰ این گزارش صادر شده بود، رامیرز گارزای در بلوک ۲۷۰۰ کوچه لیری، در حالیکه که تهدید به خودکشی میکرد و به مکزیک انتقال یافت توسط پلیس دستگیر گردید. }

توجه داشته که واژه‌های “اما”، “هنوز”، “همچنین”، “درهرصورت”، “علاوه برآن”، “با این وجود” و نظایر آن، و حتی “،” و “؛” نیز برای عطف دو گزاره و تشکیل یک گزاره مرکب بکار می‌روند. در این حالات نیز برداشت ترکیبی عطفی از آنها را میتوان با علامت نقطه بزرگ نشان داد.

 ب.  نقیض/Negation

 نقیض( نیز متناقض یا انکار) معمولاً با تبدیل است به نیست در گزاره اصلی ساخته میشود. در زبان فارسی بشیوه دیگر یعنی با پیشوند قراردادن عبارت “چنین نیست که” درابتدای یک گزاره میتوان نقیض آنرا ساخت. مرسوم است که علامت “~” (که آنرا نقیض خواهیم خواند/tilde یا curl) را برای ساختن نقیض یک گزاره بکار برد. بنابراین وقتی M برای نمادین کردن “همه انسانها میرا هستند” بکار برده شود، آنگاه گزاره‌های مختلف “چنین نیست که همه انسانها میرا هستند”، “بعضی از انسانها میرا نیستند” ، “این نادرست است که همه انسانها میرا هستند” و “نه همه انسانها میرا هستند” را یکسره وبدون تفاوت با  M~ نمادین میکنیم. بطور کلی وقتی p گزاره دلخواهی باشد، نقیض آنرا بصورت p~ می‌نویسیم. روشن است که “‍‍~” یک عملگر تابع-ارزش است. نقیض هر گزاره درست، نادرست است. این امر را میتوان بسیار روشن توسط یک جدول ارزش نشان داد. این جدول ارزش را میتوان بعنوان تعریف نماد “~” در نظر گرفت.

p~	p
F	T
T	F

 ج – ترکیب فصلی/Disjunction /alternation

ترکیب فصلی دو گزاره درزبان فارسی با قراردادن واژه “یا” بین آنها ساخته میشود. هریک از دو مؤلفه ترکیب فصلی را فصل (یا گزینه) می‌نامند.

واژه فارسی “یا” دو معنایی است، که گرچه به هم ربط دارند اما از یک دیگر قابل تمیز هستند. یکی از این دو معنی را با گزاره‌ “حقّ بیمه هنگام بیماری یا بیکاری دریافت نخواهد شد” مثال میزنیم. آشکارا منظور این است که حق بیمه نه تنها هنگام بیماری یا هنگام بیکاری دریافت نخواهد شد، بلکه از شخصی که بیمار و هم بیکار است نیز دریافت نخواهد شد. این برداشت از واژه “یا” موسوم به “یای شامل/غیرانحصاری/inclusive“، “یای ضعیف” و “یای مانعهُالخُلُوْ” است. یک ترکیب فصلی با “یا”ی غیرانحصاری وقتی درست است که یک یا هردو فصل آن درست باشند، و فقط وقتی نادرست است که هردو فصل آن نادرست باشند. برداشت از “یا”ی غیرانحصاری “این یا آن یا هردو” است. وقتی دقت دارای اهمیت است، مثلا در قراردادها یا اسناد رسمی این برداشت توسط کاربرد “یا هردو” صراحت می‌یابد.

واژه “یا” بصورت انحصاری/exclusive(قوی، منع‌جمع) نیز بکار میرود و دراین حالت معنای آن “حداقل یکی” نیست، بلکه “حداقل و حداکثر یکی” است. وقتی در منوی غذای یک رستوران نوشته شده که دسر قهوه یا شیرکاکائو است، روشن است که قیمت شام فقط شامل یکی از آنها و نه هردو است. وقتی کاربرد “یا” دربرداشت انحصاری آن دارای اهمیت است، معمولاً عبارت “نه هردو” ذکر میشود.

تفسیر ما از ترکیب فصلی دو گزاره با “یا”ی غیرانحصاری عبارت است از تصدیق به درستی حداقل یک گزاره؛ و از ترکیب فصلی انحصاری دوگزاره عبارت است از تصدیق به درستی حداقل یک گزاره بعلاوه درست نبودن هردو گزاره باهم. توجه داشته که این دونوع ترکیب فصلی در بخشی از معنای خود دارای اشتراک هستند. این معنی مشترک درست بودن حداقل یکی از فصل‌ها است. این معنای مشترک دربرگیرنده تمام معنای “یا”ی غیرانحصاری و بخشی از معنای “یا”ی انحصاری است.

گرچه درزبان فارسی[و همینطور انگلیسی] ترکیب فصلی دو معنایی بیان میشود، اما درزبان لاتین چنین نیست. زبان لاتین دارای دو واژه متفاوت متناظر با دو معنای “یا” در زبان فارسی [و انگلیسی] است. واژه لاتین vel متناظر با “یا” در معنای غیرانحصاری و واژه لاتین aut متناظر با “یا” در معنای انحصاری آن است. چنانچه p و q دو گزاره دلخواه باشند، ترکیب فصلی غیرانحصاری آنها بصورت p ⋁ q نوشته میشود. این نماد را که نام آن گُوِه/wedge (و بندرت vee) است و آنرا برای ترکیب فصلی غیرانحصاری بکار خواهیم برد یک رابط تابع-ارزش است. یک ترکیب فصلی غیرانحصاری فقط وقتی هردو فصل آن نادرست باشند، نادرست خواهد بود. نماد “∨” را میتوان مطابق جدول زیر تعریف کرد.

p ∨ q	q	p
T	T	T
T	F	T
T	T	F
F	F	F

اولین نمونه استدلال که در این قسمت آمد، یک قیاس منفصله/disjunction syllogism بود. (یک قیاس یک استدلال استنتاجی است که دارای دو مقدمه ویک نتیجه باشد.)

زندانی نابینا یک کلاه قرمز دارد یا زندانی نابینا یک کلاه سفید دارد.
زندانی نابینا کلاه قرمز ندارد.
بنابراین زندنی نابینا کلاه سفید دارد.

صورت این قیاس دارای این ویژگی است که مقدمه اول یک ترکیب فصلی است؛ مقدمه دوم آن نقیض فصل اول مقدمه اول است؛ و نتیجه آن با فصل دوم مقدمه اول یکسان است. آشکار است که قیاس منفصله، اینگونه که تعریف شد، برای هریک از دو تعبیر “یا” معتبر است؛–یعنی صرف نظر از اینکه چه معنی از واژه فارسی “یا” مقصود باشد. یک استدلال معتبر نوعی که دارای یک ترکیب فصلی بعنوان مقدمه است، مانند قیاس منفصله، در هر تعبیری از کلمه “یا” معتبر است، لذا با ترجمه “یا” به علامت منطقی “⋁” — فارغ از اینکه چه معنایی از واژه فارسی “یا” مورد نظر است،  میتوان یک ساده سازی را اعمال نمود. فقط یک بررسی از نزدیک زمینه متن یا پرسش بیواسطه از گوینده یا نویسنده هست که میتواند نوع و برداشت “یا”ی بکار رفته را آشکار کند. از این مسئله، که حل آن بیشتر اوقات میسر نیست،  چنانچه قرار گذاشته که هر رویداد “یا” را به معنی غیرانحصاری آن در نظر گرفت، میتوان دوری جست. از طرف دیگر چنانچه بطور صریح منظور خود را مشخص نمائیم–مثلا با نوشتن عبارت “نه هردو” — یک نمادگذاری ماشینی، آنگونه که خواهیم دید،  در دسترس داریم تا این برداشت اضافه “یا” را پیکربندی نمائیم.

وقتی هردو مؤلفه یک گزاره فصلی دارای یک موضوع یکسان یا یک محمول یکسان هستند، معمولاً در زبان فارسی با قراردادن “یا” بقسمی که نیاز به تکرار قسمت مشترک نباشد، گزاره مرکب فشرده میشود. بنابراین “پرویز صاحب شرکت است یا پرویز مدیر شرکت است” بصورت “پرویز صاحب یا مدیر شرکت است” نوشته میشود، که هر دو با S ⋁M نمادین میشوند. همینطور “پرویز مقصر است یا بهرام مقصر است” معمولاً بصورت “پرویز یا بهرام مقصرند” نوشته میشوند که هریک از آنها نیز با B⋁P نمادین خواهند شد.

واژه “مگر/مگرآنکه” نیز بیشتر اوقات ترکیب فصلی دوگزاره را میسازد. بنابراین “تو در امتحان ضعیف عمل خواهی کرد مگر درس بخوانی” بدرستی بصورت D⋁Z نمادین میگردد. دلیل آن این است که ما “مگر/مگرآنکه” را به این خاطر بکار میبریم تا بگوئیم اگر یک گزاره درست نباشد دیگری درست است یا خواهد بود. جمله قبل اینگونه فهمیده میشود که؛ “اگر تو درس نخوانی در امتحان ضعیف عمل خواهی کرد”–این توان تاثیر منفصله است که میگوید یکی از مؤلفه‌های آن درست است، و بنابراین اگر یکی از آنها نادرست باشد، دیگری باید درست باشد. والبته ممکن هم هست که مطالعه کنی و در امتحان هم ضعیف عمل کنی.

واژه “مگر” گاهی حامل معنای بیشتری از آنچه گفته‌شد است، یعنی باتوجه به زمینه متن ممکن است بگوید یکی از دو گزاره درست است و چنین نیست که هر دو گزاره باهم درست باشند. بعبارت دیگر منظور از “مگر” ممکن است “یا”ی انحصاری/منع‌جمع باشد. این جمله را تد ترنر[بنیان گذار CNN] گفته است، “افزایش گرمایش زمین در طی یک‌صد سال نیویورک را بزیر آب خواهد برد و بزرگترین فاجعه‌ای خواهد بود که جهان هرگز به‌خود دیده است – مگر آنکه یک جنگ هسته‌ای در پیش داشته باشیم”. در اینجا مقصود گوینده آنست که یکی از دو مؤلفه درست هستند و البته هردو نمیتوانند درست باشند. کاربردهای دیگر “مگر” چند معنایی هستند. مثل وقتی میگوئیم “پیک نیک برگذار خواهد شد مگر باران ببارد”. اما آیا منظور ما اینست که پیک نیک برگزار نخواهد شد اگر باران ببارد؟ این چندان روشن نیست. خردمندانه است که کاربرد ترکیب فصلی را بصورت ضعیف/غیرانحصاری درنظر گرفته، مگر آنکه مشخص باشد منظور ترکیب فصلی به معنای قوی (انحصاری) است. “مگر” با “⋁” به بهترین وجه نمادگزاری میشود.

د. نشان‌گذاری/Punctuation

درزبان فارسی وقتی قرار است جملات پیچیده روشن‌تر نوشته شوند، نشان‌گذاری از واجبات است. مقدار زیادی نشانه‌‌های گوناگون برای علامت گذاری نوشتارها بکار میرود که بدون کاربردن آنها ممکن است جملات چند معنایی ظاهر شوند. به همین ترتیب نشان‌گذاری در ریاضیات نیز مهم است. در نبود نوعی قرارداد خاص، نمیتوان فقط یک عدد به حاصل عبارت ۲×۳+۵ نسبت داد. این کار وقتی میسر است که روشن شود چگونه باید اجزای عبارت گروه‌بندی شوند و براساس این گروه‌بندی میتوان عدد ۱۱ یا ۱۶ را حاصل آن دانست، عدد ۱۱ برای وقتی که نشان‌گذاری بصورت ۵+(۳×۲) و ۱۶ برای وقتی که نشان‌گذاری بصورت (۵+۳)×۲ باشد. بخاطر دوری از حضور ابهام چندمعنایی و آشکاری معنی عبارات، در ریاضیات نشان‌های نشانگذاری عبارتند از: ذوج پرانتز،() برای گروه‌بندی نمادها؛ ذوج کروشه [] برای گروه‌بندی عبارتهایی که در آنها پرانتز بکار رفته است؛ و ذوج آکولاد {} برای گروه‌بندی عبارتهایی که درآنها کروشه بکار رفته است.

در زبان منطق نمادی این نشانه‌ها–پرانتز، کروشه، و آکولاد–همچنان موردنیاز هستند؛ زیرا گزاره‌های مرکب خود باهم ترکیب میشوند و گزاره‌های مرکب جدید را پدیدمی‌آورند. بنابراین p•qVr دارای ابهام چندمعنایی است: این عبارت میتواند ترکیب عطفی p با ترکیب فصلی q با r باشد، یا عبارت از یک ترکیب فصلی‌ای باشد که مؤلفه اول آن ترکیب عطفی p با q و مولفه دوم آن r است. با نشان‌گذاری میتوان این دو را با فرمولهای p•q)Vr) و  ( p•(qVr و   متمایز نمود. نشان‌گذاری متفاوت برای فرمول اصلی موجب تمایزی میشود که میتوان آنرا بافرض دروغ بودن p و راست بودن q و r مشاهده کرد. دراین حالت فرمول دوم راست است (زیرا مؤلفه دوم آن راست است) ولی فرمول اول دروغ است زیرا مؤلفه اول آن دروغ است.  دراینجا تفاوت در علامت گذاری باعث تفاوت در راستی یا دروغی میشود و علامت گذاری متفاوت مقادیر مختلف ارزش به عبارت مبهم  p•q⋁r  نسبت دهد.

در زبان فارسی نقیض یک ترکیب فصلی معمولاً با قالب “نه …. و نه ……” ساخته میشود. برای مثال نقیض ترکیب فصلی “سعدی یا حافظ بزرگترین ریاضی‌دان ایرانی هست”، و بعبارت دیگر نقیض “سعدی بزرگترین ریاضیدان ایرانی است یا حافظ بزرگترین ریاضیدان ایرانی است” بصورت “نه سعدی بزرگترین ریاضیدان ایرانی است و نه حافظ بزرگترین ریاضیدان ایرانی است” نوشته میشود. گزاره فصلی بصورت (S⋁H) و نقیض آن یصورت ‍(S⋁H)~ نمادین میشود، که هم‌ارز است با  ~(S)•~(H). (هم‌ارزی منطقی این دو فرمول در ۹-۹ بررسی خواهد شد). باید آشکار باشد که برای انکار یک ترکیب فصلی که میگوید یک یا گزاره دیگری درست است، باید باید گفته شود که هردو گزاره نادرست هستند.

توجه به کاربرد عبارت “هردو” در زبان فارسی نیز مهم است. منظور جمله “پرویز و بهرام هردو در سفر نیستند” میتواند این باشد که “هردو باهم(همزمان)” در سفر نیستند، یا اینکه “نه پرویز در سفر است و نه بهرام در سفر است”. در حالت اول گزاره مرکب هم‌ارز بصورت (P•B)~ و در حالت دوم گزاره بصورت (P)•~(B)~  نمادین میشود. بخاطر کوتاه نویسی– یعنی، کاهش تعداد پرانتزهای مورد نیاز– آسانتر میشود اگر قرار بگذاریم در هر فرمول حوزه تاثیر(یا قلمرو) نماد نقیض عبارت باشد از کوتاهترین عبارتی که نشان‌گذاری میسر میسازد. بدون این قرارداد فرمول p⋁q~ دارای ابهام چندمعنایی است، یعنی میتواند p)⋁q)~ ویا (p⋁q)~ باشد. اما مطابق آنچه قرار گذاشتیم اولین مؤلفه یعنی p که کوتاه‌ترین عبارت است در قلمرو نماد ~ است نه p⋁q که طولانی‌تر است.

با داشتن مجموعه‌ای از قوانین نشان‌گذاری برای منطق نمادین خود، نه تنها میسر است است که ترکیبات عطفی، نقیض، و یای ضعیف را دراین زبان نوشت، بلکه برای یای قوی(منع جمع) نیز چنین است. ترکیب عطفی یای قوی p و q می‌گوید حداقل یکی از آنها ولی نه هردو درست هستند، که این را می‌توان بگونه (p⋁q)•(~(p•q)) نوشت. راه دیگر بیان یای منع جمع بیان آن با ⊻ است.

مقدار ارزش هر گزاره‌های مرکب که از گزاره‌های ساده و رابط‌های تابع-ارزش – ~، •، و ∨– ساخته شده باشد به‌تمامی با درستی و نادرستی گزاره‌های ساده مؤلفه‌ای آن تعیین میگردد. چنانچه مقدار ارزش گزاره‌های ساده دانسته باشند، مقدار ارزش هر ترکیب تابع-ارزش آنها به آسانی قابل محاسبه است. برای محاسبه مقدار ارزش این توابع مرکب همیشه ابتدا از درونی‌ترین مؤلفه‌ها محاسبه را آغاز و بطرف بیرون ادامه میدهیم. برای نمونه، چنانچه A و B راست و X و Y دروغ فرض شوند، مقدار ارزش عبارت  [(A•X)•(Y∨~B)~]~  را میتوان مطابق آنچه در پی آمده محاسبه کرد. چون X دروغ است پس ترکیب عطفی A•X دروغ است و نقیض آن یعنی (A•X)~ راست است. چون B راست است نقیض آن یعنی B~ دروغ است و از طرفی Y هم دروغ است، بنابراین ترکیب فصلی Y و  B~ یعنی Y⋁~B دروغ است. عبارت کروشه‌دار، یعنی [(A•X)•(Y∨~B)~]، ترکیب عطفی یک گزاره راست با گزاره دروغ است، وبنابراین دروغ است. پس نقیض آن، که همان عبارت مورد نظر برای محاسبه است، راست است. این روش گام به گام همیشه میتواند ارزش یک گزاره مرکب را با توجه ارزش گزاره های مولفه‌ای آن بدست آورد.

در بعضی حالات میتوان مقدار ارزش یک عبارت مرکب تابع-ارزش را حتی وقتی راستی و یا دروغی مؤلفه‌های ساده آن معلوم نیست بدست آورد. برای این کار ابتدا مقدار ارزش عبارت را با فرض اینکه یکی از مولفه های آن راست ‌است محاسبه کرده، سپس همین کار را با این فرض که همان مولفه دروغ است انجام داده. این کار را برای بقیه مؤلفه‌های عبارت مرکب که ارزش آنها معلوم نیست تکرار میکنیم. اگر درهر دو حالت نتیجه محاسبه شده برای عبارت مرکب مورد بررسی یکسان باشد، آنگاه مقدار ارزش عبارت مرکب را بدون تعیین ارزش مؤلفه‌های ساده آن محاسبه شده است. زیرا، میدانیم مقدار ارزش هر مولفه نمیتواند چیزی غیر از راست یا دروغ باشد.

الف: با استفاده از جدول ارزش تعرف یا (⋁) ، و (•) و نقیض (~) ، راستی یا دروغی گزاره‌های زیر را تعیین کنید.

*۱. رم پایتخت ایتالیا است. ⋁ رم پایتخت اسپانیا است.

۲. ~( لندن پایتخت انگلیس است • استکهلم پایتخت نروژ است).

۳. ~ لندن پایتخت انگلیس است • ~ استکهلم پایتخت نروژ است.

۴. ~ (رم پایتخت اسپانیا است ⋁ پاریس پایتخت فرانسه است)

*۵. ~ رم پایتخت اسپانیا است ⋁ ~ پاریس پایتخت فرانسه است.
۶. لندن پایتخت انگلیس است ⋁ ~ لندن پایتخت انگلیس است.
۷. استکهلم پایتخت نروژ است • ~ استکهلم پایتخت نروژ است.
۸. (پاریس پایتخت فرانسه است • رم پایتخت اسپانیا است)⋁(پاریس پایتخت فرانسه است • ~ رم پایتخت اسپانیا است).
۹. (لندن پایتخت انگلیس است ⋁ استکهلم پایتخت نروژ است) • (~ رم پایتخت ایتالیا است • ~ استکهلم پایتخت نروژ است).
*۱۰. رم پایتخت اسپانیا است ⋁ ~( پاریس پایتخت فرانسه است • رم پایتخت اسپانیا است).
۱۱. رم پایتخت ایتالیا است • ~ پاریس پایتخت فرانسه است ⋁ رم پایتخت اسپانیا است).
۱۲. ~(~ پاریس پایتخت فرانسه است • ~ استکهلم پایتخت نروژ است).
۱۳. ~[~(~ رم پایتخت اسپانا است ⋁ ~ پاریس پایتخت فرانسه است) ⋁ ~(~ پاریس پایتخت فرانه اسن ⋁ استکهلم پایتخت نروژ است)].
۱۴. ~[~(~ لندن پایتخت انگلیس است • رم پایتخت اسپانیا است) • ~ (رم پایتخت اسپانیا است • ~ رم پایتخت اسپانیا است)[.
*۱۵. ~[~( استکهلم پایتخت نروژ ⋁ پاریس پایتخت فرانسه است) ⋁ ~(~ لندن پایتخت انگلیس است • رم پایتخت اسپانیا است)].
۱۶. رم پایتخت اسپانیا است ⋁ (~ لندن پایتخت انگلیس است ⋁ لندن پایتخت انگلیس است).
۱۷. پاریس پایتخت فرانسه است • ~( پاریس پایتخت فرانسه است • پایتخت اسپانیا است).
۱۸. لندن پایتخت انگلیس است • ~( رم پایتخت ایتالیا است • رم پایتخت ایتالیا است).
۱۹. (استکهلم پایتخت نروژ است ⋁ ~ پاریس پایتخت فرانسه است) ⋁ ~( ~ استکهلم پایتخت نروژ است • ~ لندن پایتخت انگلیس است).
*۲۰. (پاریس پایتخت فرانسه است ⋁ ~ رم پایتخت اسپانیا است) ⋁ ~(~ پاریس پایتخت فرانسه است • ~ رم پایتخت اسپانیا است).
۲۱. ~[~(رم پایتخت اسپانیا است • استکلم پایتخت نروژاست) ⋁ ~(~ پاریس پایتخت فرانسه است ⋁ ~ رم پایتخت اسپانیا است)].
۲۲. ~[~(لندن پایتخت انگلیس است • پاریس پایتخت فرانسه است) ⋁ ~(~ استکهلم پایتخت نروژ است ⋁ ~ پاریس پایتخت فرانسه است)].
۲۳. ~[~ (پاریس پایتخت فرانسه است ⋁ رم پایتخت ایتالیا است) • ~(~ رم پایتخت ایتالیا است ⋁ استکهلم پایتخت نروژ است)].
۲۴. ~[(~ رم پایتخت اسپانیا است ⋁ استکهلم پایتخت نروژ است) • ~(~ استکهلم پایتخت نروژ است ⋁ پاریس پایتخت فرانسه است)].
*۲۵. ~[(~ لندن پایتخت انگلیس است • پاریس پایتخت فرانسه است) ⋁ ~(~ پاریس پایتخت فرانسه است • رم پایتخت اسپانیا است)].

 ب- اگر A, B و C گزاره‌های درست و X, Y و Z گزاره‌های نادرست باشند، کدام‌یک از فرمول‌های زیر درست هستند.

*۱٫ ~A∨B
۲٫ ~B∨X
۳٫ ~Y∨ C
۴٫ ~Z∨X
*۵٫ (A•X)∨(B•Y)
۶٫ (B•C)∨(Y-Z)
۷٫ ~(C•Y)∨(A•Z)
۸٫ ~(A-B)∨(X•Y)
۹٫ ~(X•Z)∨(B-C)
*۱۰٫ ~(X•~Y)∨(B•~C)
۱۱٫ (A∨X)•(Y∨B)
۱۲٫ (B∨C)•(Y∨Z)
۱۳٫ (X∨Y)•(X∨Z)
۱۴٫ ~(A∨Y•)•(B\/X)
*۱۵٫ ~(X∨Z)•(~X∨Z)
۱۶٫ ~(A∨C)∨~(X•~Y)
۱۷٫ ~(B∨Z)•~(X∨~Y)
۱۸٫ ~[(A∨~C)∨(C∨~A)] ۱۹٫ ~[(B•C)•~(C•B)] *۲۰٫ ~[(A•B)∨~(B•A)] ۲۱٫ [A∨(B∨C•)]•~[(A∨B)∨C] ۲۲٫ [X∨(Y•Z)]∨~[(X∨Y)•(X∨Z)] ۲۳- [A•(B∨C3]•~[(A•B)∨(A•C)] ۲۴- ~{[(~A•B)•(~X• Z)] •~[(A•~B)∨~(~Y• ~Z)]}
*۲۵- ~{~[(B•~C)∨(Y• ~Z)] • [(~B∨X)∨(B∨~Y)]}

 ج. اگر  A و B  درست و  X و Y  نادرست باشند ولی مقدار ارزش p و Q معین نباشد،  ارزش کدام‌یک از گزاره‌های زیر را میتوان تعیین کرد.

*۱٫ A∨P
۲٫ Q•X
۳٫ Q∨~X
۴٫ ~B•P
*۵٫ P∨ ~P
۶٫ ~P∨ (Q∨P)
۷٫ Q• ~Q
۸٫ P• (~P∨X)
۹٫ ~(P•Q)∨P
*۱۰٫ ~Q•[(P∨Q)•~P] ۱۱٫ (P∨Q)•~(Q∨P)
۱۲٫ (P•Q)•(~P∨~Q)
۱۳٫ ~P∨ [~Q∨ (P5 Q)] ۱۴٫ P∨ ~(~A ∨ X)
*۱۵٫ P•[~(P∨Q)∨~P] ۱۶٫ ~(P•Q)∨(Q•P)
۱۷٫ ~[~(~P∨Q)∨P]∨P
۱۸٫ (~P∨Q) •~[~P∨(P•Q)] ۱۹٫ (~A∨P) • (~P∨Y) •
*۲۰٫ ~[P∨(B•Y)]∨[(P∨B)•(P∨Y)] ۲۱٫ [P∨ (Q•A)] • ~[(P∨ Q) • (P∨A)] ۲۲٫ [P∨(Q•X)]•~[(P∨Q)•(P∨X)] ۲۳٫ ~[~P∨(~Q∨X)]∨[~(~P∨Q) ∨(~P∨X)] ۲۴٫ ~[~P∨ (~Q∨A)] ∨ [~(~P∨ Q) ∨ (~P∨A)] *۲۵٫ ~[(P• Q) ∨ (Q• ~P)]• ~[(P• ~Q) ∨ (~Q• ~P)]

 د. با کاربرد از حروف E، I، J، L و S برای مختصر کردن گزاره‌های ساده “کمبود مواد غذایی مصر بدتر میشود”، “ایران قیمت نفت را افزایش میدهد”، “اردن تقاضای کمکهای بیشتر از آمریکا میکند”، “لیبی قیمت نفت را افزایش میدهد” و “عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر میخرد”، جمله‌های زیر را نمادین کنید.

۱. ایران قیمت نفت را بالا میبرد اما لیبی قیمت نفت را افزایش نمیدهد.

۲. ایران یا لیبی قیمت نفت را افزایش نمیدهند.

۳. ابران و لیبی هر دو قیمت نفت را افزایش میدهند.

۴. ایران و لیبی قیمت نفت را هر دو افزایش نمیدهند.

۵. ایران و لیبی هر دو قیمت نفت را افزایش نمیدهند.

۶. ایران یا لیبی قیمت نفت را افزایش میدهند اما آنها هر دو این کار را نمیکنند.

۷. عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر میخرد و یا ایران قیمت نفت را افزایش میدهد یا اردن کمکهای بیشتری از آمریکا درخواست می کند.

۸. عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر میخرد و ایران قیمت نفت را افزایش میدهد یا اردن کمک های بیشتری از آمریکا درخواست می کند.

۹. چنین نیست که کمبود مواد غذایی مصر بدتر شود و اردن تقاضای کمکهای بیشتر آمریکا را کند.

۱۰. چنین نیست که کمبود مواد غذایی مصر بدتر شود و یا اردن تقاضای کمکهای بیشتر آمریکا را کند.

۱۱. یا کمبود مواد غذایی مصر بدتر نمیشود یا اردن تقاضای کمکهای بیشتر آمریکا را میکند.

۱۲. چنین نیست که هم کمبود مواد غذایی مصر بدتر شود و هم اردن تقاضای کمک بیشتر آمریکا کند.

۱۳. اردن تقاضای بیشتر کمک های آمریکا را می کند مگر اینکه عربستان سعودی ۵۰۰ تا هواپیمای جنگی بخرد.

۱۴. مگر اینکه کمبود غذایی مصر بدتر شود، لیبی قیمت نفت را بالا ببرد.

۱۵. ایران قیمت نفت را افزایش نخواهد داد مگر اینکه لیبی هم همین کار را کند.

۱۶. مگر اینکه ایران و لیبی هر دو قیمت نفت را افزایش دهند هیچ یک از این دو انجام دهند.

۱۷. لیبی قیمت نفت را افزایش میدهد و کمبود مواد غذایی مصر بدتر می شود.

۱۸. چنین نیست که هیچ یک از ایران و لیبی قیمت نفت را افزایش دهند.

۱۹. کمبود غذایی مصر بدتر میشود و اردن دخواست بیشتر کمک از آمریکا میکند، مگر اینکه هم ایران و هم لیبی قیمت نفت را افزایش ندهند.

۲۰. یا ایران قیمت نفت را افزایش میدهد و کمبود مواد غذایی مصر بدتر میشود، یا چنین نیست که هم اردن درخواست کمک بیشتر از آمریکا کند و عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر بخرد.

۲۱. یا کمبود مواد غذایی مصر بدتر میشود و عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر میخرد، یا اردن درخواست کمک بیشتر از آمریکا میکند یا لیبی قیمت نفت را افزایش میدهد.

۲۲. عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر میخرد، و یا اردن درخواست کمک بیشتر از آمریکا میکند یا لیبی و هم ایران قیمت نفت را افزایش میدهند.

۲۳. یا کمبود مواد غذایی مصر بدتر میشود یا اردن درخواست کمک بیشتر از آمریکا میکند، اما نه لیبی و نه ایران قیمت نفت را افزایش نمیدهند.

۲۴. کمبود مواد غذایی مصر بدتر میشود، اما عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر میخرد و لیبی قیمت نفت را افزایش میدهد.

۲۵. لیبی قیمت نفت را افزایش می دهد و کمبود مواد غذایی در مصر بدتر میشود.

حل تمرین‌های ستاره دار:

آ.       ۱٫ درست     ۵٫ درست     ۱۰٫  درست    ۱۵٫   نادرست  ۲۰٫    درست     ۲۵٫  نادرست
ب.     ۱٫ درست    ۵٫ نادرست    ۱۰٫  درست    ۱۵٫   درست    ۲۰٫    نادرست   ۲۵٫  نادرست
ج.      ۱٫ درست    ۵٫ درست      ۱۰٫  نادرست  ۱۵٫   نادرست  ۲۰٫    درست     ۲۵٫  نادرست

د.

۱٫ I•~L     ۵٫ ~I•~L     ۱۰٫  ~(E∨J)    ۱۵٫  ~IVL    ۲۰٫  (I•E)∨~(J•S)    ۲۵٫  (L•E)•(S•J)