هم‌ارزی منطقی

هم‌ارزی منطقی

در اینجا نه یک رابط، بلکه یک رابطه مهم و بسیار مفید را معرفی می‌کنیم و آنگونه که خواهیم دید از رابط‌‌های تابع-ارزشی بررسیشده  پیشین پیچیده‌تر است.

گزاره‌ها تا وقتی دارای ارزش یکسان هستند که بطورمادی هم‌ارز باشند. با توجه به آنکه دو گزاره هم‌ارز مادی هردو درست یا هردو نادرست هستند، بسادگی می‌توان دریافت آنها  مستلزم‌مادی یکدیگرند، زیرا یک مقدم نادرست مستلزم‌مادی هرگزارهای‌ است و یک تالی درست می‌تواند لازم‌‌شده / مستلزَم‌مادی هرگزارهای باشد. به همین علت هم است که نشان سه خط ،≡ ، را بصورت “اگر و تنها اگر” می‌خوانیم.

اکنون باید روشن باشد که نمی‌توان گزاره‌ها‌ی هم‌ارز مادی را بجای یکدیگر بکار گرفت، آنچه که ما از گزاره‌های هم‌ارز مادی می‌فهمیم فقط این است که دارای مقدار ارزش یکسان هستند. گزاره‌های “مشتری از زمین بزرگتر است” و ” توکیو پایتخت ژاپن است” بطور مادی هم‌ارز هستند، زیرا هردو درست هستند. اما آشکار است که آنها قابلیت جابجایی با یکدیگر را ندارند. بهمین ترتیب گزاره “همه‌ی عنکبوتان سمی هستند” و “هیچ عنکبوتی سمی نیست” صرفاً از این جهت که هردو نادرست هستند هم‌ارز مادی هستند و البته روشن نیز است که نمی‌توان آنها را بجای یکدیگر بکار برد.

اما موارد بسیاری هست که باید رابطه‌ای معرفی شود تا به جابجایی دوسویه مجوز دهد. دو گزاره می‌توانند قوی‌تر از آنچه هم‌ارزی مادی می‌گوید، معادل باشند، یعنی علاوه برآنکه دارای ارزش یکسانند، معنی معادل هم داشته باشند. وقتی معنی آنها یکسان بود، آنگاه هرگزاره که دربردار یکی از آنهاست، دربردار دیگری نیز هست. در این شرایط، حالتی وجود ندارد — و نمی‌تواند نیز وجود داشته باشد که یکی از گزاره‌ها درست و حال آنکه دیگری نادرست باشد. گزاره‌هایی که بااین ترتیب بسیار قوی هم‌ارزند را منطقاً هم‌ارز می‌نامیم.

البته هر دوگزاره منطقاً هم‌ارز، هم‌ارز مادی نیز هستند، زیرا هردو دارای مقدار ارزش یکسان هستند. درواقع، هرگاه دوگزاره منطقاً هم‌ارز باشند، درتمام حالات هم‌ارز مادی خواهند بود- توضیحی که بدنبال می‌آید گرچه کوتاه اما تعریفی توانمند برای هم‌ارزی منطقی است: دو گزاره منطقاً هم‌ارزند  اگر گزاره هم‌ارزی‌مادی آنها یک توتولوژی باشد. بعبارت دیگر، این گزاره که آنها باید مقدار ارزش یکسان داشته باشند، باید ضرورتاً درست باشد. به همین دلیل است که برای نشان دادن این رابطه بسیار قوی منطقی از سه خط تیره و یک T که بالای آن قرار دارد، ، استفاد خواهیم کرد، به این قصد که نشان دهیم این رابطه منطقی دارای این سرشت است که هم‌ارزی مادی دو گزاره آن یک توتولوژی است. از آنجا که هم‌ارزی مادی یک دوشرطی است (دوگزاره که مستلزم مادی یکدیگرند)، میتوان چنین نیز پنداشت که نماد هم‌ارزی منطقی،، بیانگر یک دوشرطی توتولوژیک است.

بعضی هم‌ارزیهای منطقی که بسیار نیز بکار می‌روند این رابطه و توانمندی فوق العاده آنرا نشان میدهند. این معمول است که p و p~~ هردو معنی یک چیز را بدهند، “او از سختی‌ها آگاه است” و “او از سختی‌ها ناآگاه نیست” دو گزاره با محتوی یکسان هستند. درواقع هریک از این دو گفته می‌توانند با دیگری جایگزین(تعویض) شوند، زیرا هردو یک چیز می‌گویند. این اصل که موسوم به نقض مضاعف است و درستی آن برهمگان آشکار است، را می‌توان در یک جدول ارزش نمایان ساخت،  که درآن نشان داده‌میشود هم‌ارزی مادی این دو صورت گزاره‌ای یک توتولوژی است.

p	~p	~~p	p~~p
T	F	T	T
F	T	T	T

این جدول نشان می دهد که p و p~~ منطقاً هم‌ارز هستند. این هم‌ارزی بسیار سودمند یعنی نقض مضاعف به شیوه زیر نمادین میشود.

 p ~~p

تفاوت بین هم‌ارزی مادی از یک سو و هم‌ارزی منطقی از سوی دیگر بسیار ژرف و بااهمیت است. اولی، ≡، یک رابط تابع ارزش است که با توجه به درستی و نادرستی پیوندهای ربط داده شده، می‌تواند درست یا نادرست باشد، اما دومی، ، یعنی هم‌ارزی منطقی صرفاً یک رابط نیست، بلکه بیان یک رابطه میان دو گزاره نیز هست که تابع ارزش نیست. دو گزاره وقتی منطقاً هم‌ارز هستند که بطور مطلق ممکن نباشد دارای مقادیر ارزش متفاوت باشند. اما اگر آنها همیشه مقدار ارزش یکسان دارند، پس باید معنی یکسان داشته باشند و بنابراین می‌توان بدون تغییر در مقدار ارزش در هر زمینه تابع-ارزشی و بدون تغییر در مقدار ارزش زمینه، آنها را جانشین یکدیگر کرد. برعکس، دوگزاره که بطور مادی هم‌ارز هستند صرفاً از قرار حادثه است که دارای مقدار ارزش یکسان شده‌اند، حتی اگر هیچ ارتباطی مبتنی برواقعیات نیز بین آنها نباشد. گزاره‌هایی که فقط  هم‌ارز مادی هستند را بطور قطع نمی‌توان جانشین یکدیگر کرد!

دو هم‌ارزی منطقی (یعنی دو دوشرطی منطقاً درست) معروف و  مهم وجود دارند و این اهمیت از آن جهت است که آنها بیانگر روابط بین ترکیب عطفی و ترکیب فصلی و همچنین نقیض آنها هستند. بنابراین، این دوهم‌ارزی منطقی را از نزدیک بررسی خواهیم‌کرد.

چگونه باید درستی یک ترکیب فصلی را انکار کرد؟ هر ترکیب فصلی p ⋁ q  چیزی  بیش از این نمی‌گوید که حداقل یک فصل آن درست است. کافی‌نیست با گفتن آنکه حداقل یکی از این فصل‌ها نادرست هست، آنرا انکار کرد؛  بلکه (برای انکار آن) باید گفت هر دو فصل نادرست هستند. بنابراین پذیرش نقیض ترکیب فصلی  p ⋁ q منطقاً هم‌ارز است با پذیرش عطف نقیض p و نقیض q. برای نشان دادن این مطلب با جدول ارزش، این دوشرطی را بصورت:

~(p ⋁ q) º (~p • ~q)

 پیکربندی و آنرا در بالای جدول و در ستون مخصوص خود قرار داده، سپس جدول ارزش را برای همه حالات ممکن درهر سطر پر می‌کنیم:

p	p	p⋁q	~(p⋁q)	~p	~q	~p•~q	~(p⋁q)≡(~p•~q)
T	T	T	F	F	F	F	T
T	F	T	F	F	T	F	T
F	T	T	F	T	F	F	T
F	F	F	T	T	T	T	T

همانطور که دیده‌میشود، این دوشرطی برای هر مقدار ارزش p و  q، هرچه می‌خواهند باشند،  باید درست باشد. این یک توتولوژی است. چون گزاره این هم‌ارزی یک توتولوژی است، نتیجه می‌گیریم این دو عبارت منطقاً هم‌ارز هستند.  آنچه انجام دادیم درواقع اثبات آن بود که:

~(p ⋁ q) (~p • ~q)

به همین روش و از آنجاکه پذیرفتن ترکیب عطفی p و q عبارت از پذیرفتن درستی هردو است، برای نقض این پذیرش فقط نیاز است بپذیریم حداقل یکی از آنها نادرست است. بنابراین پذیرفتن نقیض ترکیب عطفی (p • q)، منطقاً هم‌ارز پذیرفتن ترکیب فصلی نقیض p و نقیض q است. با استفاده از نماد در جدول ارزش می توان نشان داد که:

~(p • q)  (~p ⋁ ~q)

یک توتولوژی است.

این دو دوشرطی‌های توتولوژیک یا بعبارت دیگر هم‌ارزی‌های منطقی مشهور به قضایای دِمورگان هستند، زیرا آنها بصورت رسمی توسط ریاضیدان و منطقدان آگوستوس دمورگان (Augustus De Morgan 1806-1871) معرفی شده‌اند. قضایای دمورگان را میتوان درزبان فارسی  بصورت زیر پیکربندی کرد.

آ. نقیض ترکیب فصلی دوگزاره منطقاً با ترکیب عطفی نقیض آن دوگزاره هم‌ارز است.

ب. نقیض ترکیب عطفی دوگزاره منطقاً یا ترکیب فصلی نقیض آن دو گزاره هم‌ارز است.

این دو قضیه دمورگان نشان می‌دهند که بسیار سودمند خواهند بود.

هم‌ارزی منطقی دیگری هست که هنگام انجام اعمال روی رابط‌های تابع-ارزش بسیار مفید است. همانطور که پیشتر دراین فصل دیدیم (قسمت ۹.۳)، هم‌ارزی مادی،⊂، را بعنوان یک روش کوتاه برای گفتن  (p • ~ q)‍~ تعریف کردیم. بعبارت دیگر، معنی “p بطور مادی مستلزم q است”  بنابرتعریف عبارت است ازاینکه چنین‌نیست که p درست باشد و حال آنکه q نادرست باشد. میتوان دراین تعریف مشاهده‌کرد که تعریفگر[معرِِف] یعنی (p • ~ q)‍~ عبارت است از نقیض یک ترکیب عطفی؛  و از طرفی بنابر قضایای دمورگان میدانیم که این چنین انکاری منطقاً هم‌ارز ترکیب فصلی نقیض عطف‌ها است،  یعنی (p • ~ q)‍~ منطقاً هم‌ارز  ( p ⋁ ~~ q~) است، و باتوجه به اصل نقض مضاعف و کاربرد آن، این عبارت منطقاً هم‌ارز  p ⋁  q~ خواهدبود. عبارت‌های هم‌ارز منطقی معنی یک چیز هستند و بنابراین تعریف‌گر اصلی برای ⊂، یعنی، (p • ~ q)‍~ را می‌توان بدون هیچ تغییر درمعنی با عبارت p ⋁  q~ جایگزین(تعویض) کرد. این مطلب یک تعریف بسیار مفید از استلزام مادی را  مطابق زیر ارائه میکند:

                                   p ⊃  q منطقاً هم‌ارز  p ⋁  q~ است.

که آنرا بطور نمادین می‌توان به صورت زیر نیزنوشت:

(p ⊃ q)   (~p‍ ⋁ q)

در پیکربندی گزاره‌های منطقی و تحلیل استدلال‌ها، به این تعریف از استلزام مادی بسیار زیاد رجوع میشود. اغلب، انجام تغییرات (در پیکربندی) ضرورت پیدا می‌کند و  انجام این تغییرات بسیار کاراتر است اگر درگزاره‌های موردعمل رابط‌های اصلی یکسان بکاررفته ‌باشند. با این تعریف ساده از  ⊂، فقط نشان میدهیم که (p ⊃ q) (~p ⋁q)، و بنابراین گزاره‌هایی که درآنها رابط ⊂ بکاررفته است براحتی می‌توانند با گزاره‌هایی با رابط عطفی جایگزین(تعویض) گردند؛  و بهمین ترتیب گزاره‌ها با ترکیب فصلی را می‌توان با گزاره‌های استلزامی جایگزین(تعویض) نمود. زمانی که قصد داریم یک برهان صوری برای اعتبار یک استدلال استنتاجی ارائه کنیم، اینگونه جایگزینی‌ها(تعویض‌ها) بسیار سودمند و مورد نیاز خواهد بود.

قبل از آنکه در قسمت بعد به آزمون اعتبار و بی‌اعتباری بپردازیم، شایسته است دراینجا برای بررسی بیشتر معنی استلزام مادی، توقف کوتاهی‌داشته باشیم. استلزام نقش مرکزی در استدلال دارد، اما همانطور که پیشتر گفتیم، واژه “مستلزم” بسیار چندمعناست. استلزام مادی، که بر اساس آن این تحلیل را قرار میدهیم، فقط یک برداشت و البته یک برداشت مهم ازاین واژه است. تعریف استلزام مادی، آنطور که در بالا آمد، آشکار می‌کند که وقتی در این برداشت مهم  می‌گوئیم “p مستلزم q است”، چیزی بیشتر از این که “q درست یا p نادرست است” را نمی‌گوییم.

تصدیق یک گزاره “اگر- آنگاه” با برداشت در بالاآمده دارای پیامدهایی است که ممکن است بنظر تناقض‌آمیز بیاید. مطابق این برداشت می‌توانیم بطور صحیح بگوئیم “اگر یک گزاره درست است، آنگاه هرگزاره دیگری هر چه که می‌خواهد باشد، مستلزم آن است”.  بنابراین چون درست است که زمین گرد است پس ساخته شدن ماه از پنیر سبز مستلزم گرد بودن زمین است. این بنظر خیلی غریب می‌آید؛ و بویژه آنکه می‌توان ادامه‌داد و گفت “ماه از پنیر سبز ساخته نشده است مستلزم گرد بودن زمین است”. همچنین فهم دقیق استلزام مادی، ما را بطور صحیح وامی‌دارد تا بگوئیم، “اگر یک گزاره نادرست است، آنگاه آن مستلزم هرگزاره‌ای هرچه می‌خواهد باشد است” و بدنبال آن می‌توان گفت “ماه از پنیر ساخته شده است مستلزم گرد بودن زمین است” وبسیار غریب‌تر بنظر خواهد آمد که دریابیم میتوان گفت “ماه از پنیر ساخته شده است، مستلزم گرد نبودن زمین است”

چرا این جملات بنظر غریب مینمایند؟ زیرا  تشخیص می‌دهیم شکل زمین و پنیری بودن ماه اساساً بدون ارتباط  باهم هستند. آنگونه که ما درزبان معمول واژه “مستلزم است” را بکار میبریم، یک گزاره نمی‌تواند مستلزم گزاره دیگری، درست یا نادرست باشد که اساسا با آن بی‌ارتباط است. این آن چیزی است که در اکثر موارد از “مستلزم است” در کاربرد عادی برای آن درنظر می‌گیریم. درعین‌حال نیز، آن گزاره‌های “تناقص آمیز” در پاراگراف بالا بواقع درست هستند و هرگز مساله‌دار نیستند، زیرا در آنها واژه “مستلزم است” دربرداشت منطقی آن یعنی “استلزام مادی” بکار گرفته‌شده است.

آنچه باید در ذهن بماند اینست‌که: فقره‌ی معنی بتمامی بی‌ارتباط با استلزام مادی است. استلزام مادی یک تابع-ارزش است. فقط مقدار ارزش درستی/نادرستی مقدم و تالی و نه محتوی آنها در آن مدخلیت دارند. چیز تناقص آمیزی در این نیست، که گفته شود یک ترکیب شرطی وقتی درست است که دارای یک فصل درست باشد. بنابراین وقتی می‌گوئیم “ماه از پنیر ساخته شده است مستلزم گردبودن زمین است”، می‌دانیم که این هم‌ارز منطقی با “ماه از پنیر ساخته شده‌است یا زمین گردست” است- یعنی یک ترکیب فصلی که بطور قطع درست است. “ماه از پنیر ساخته نشده‌است” که فصل اول است فارغ از آنکه گزاره دوم چه‌باشد، درست‌است. بنابراین چنین است که “ماه از پنیر ساخته شده‌است (بطور مادی) مستلزم آن است که زمین گردست”. یک گزاره نادرست مستلزم مادی هرگزاره هرچه می‌خواهد باشد، است. هر گزاره هرچه که می‌خواهد باشد بطور مادی مستلزم یک گزاره درست است.

همانطور که گفتیم، باید با هر رویداد “اگر – آنگاه”، بعنوان یک استلزام مادی رفتارشود و نیز با نماد ⊂ نشان داده‌شود. توجیه این عمل، یعنی ماحصل منطقی آن، این است که انجام  اینکار اعتبار همه‌ی استدلال‌های معتبر از آنگونه را که در اینجا برآنها متمرکز بودیم، حفظ میکند. نمادگذاری‌های دیگری برای انواع دیگر استلزام‌ها ارائه شده‌اند، اما آنها متعلق به بخش‌های پیشرفته‌تر منطق، فراتر از قلمرو این کتاب، هستند.