عدد چه نوع چیزی است؟ گفتگوی جان براکمن با روبن هرش

ریاضیات چیست؟ نه فیزیکی و نه ذهنی است، بلکه اجتماعی است . قسمتی از فرهنگ و تاریخ است . شبیه قانون، مذهب، پول و همه چیزهای دیگری است که خیلی حقیقی اند اما فقط بخشی از آگاهی انسان اجتماعی را تشکیل می دهند و این دقیقاً همان چیزی است که ریاضیات است. به نظر روبن هرشِ ریاضی دان، ریاضیات فقط به عنوان قسمتی از فرهنگ انسان وجود یا واقعیت دارد . با وجود اینکه ریاضیات بی زمان و لغزش ناپذیر به نظر می رسد ولی پدیده ای اجتماعی- فرهنگی- تاریخی است.
او دیدگاه وسیعی دارد و در مورد مسائل کهن بسیار فکر می کند: اعداد چیستند؟
مثلث، مربع و دایره چیستند؟ مجموعه های نامتناهی چیستند؟ بعد چهارم چیست؟ معنا و ماهیت ریاضیات چیست؟ او ضمن زیاد اندیشیدن، نظریه های قدیم و جدید در مورد ماهیت
ریاضیات را توضیح داده و مورد نقد قرار می دهد. هدف اصلی او روبرو شدن با مسائل فلسفی است: اشیا ریاضی به چه مفهومی وجود دارند؟ چگونه می توانیم نسبت به آن ها آگاهی کسب کنیم؟
چرا ریاضی دانان فکر می کنند که اعیان ریاضی مستقل از دانش ریاضی و عمل ریاضی وجود دارند و جاودانه اند؟
جان (براکمن): روبن، یک سؤال جالب مطرح کن! هرش: عدد چیست؟ مثلاً دو چیست؟ این یک سؤال کودکستانی است و البته یک بچۀ کودکستانی جوابی این چنین می دهد: سه (سه انگشتش را بالا می برد ). دو (دو انگشتش را بالا می برد). این یک جواب خوب و در عین حال یک جواب بد است.
در واقع برای بیشتر مقاصد، این جواب به قدر کافی خوب است ولی فراتر از کودکستان، تا حد جسارت در پرسیدن سؤالات عمیق تر، سؤال فوق به صورت زیر در می آید : یک عدد چه
نوع چیزی است؟ حال وقتی می پرسید« یک عدد چه نوع چیزی است »می توانید راجع به دو جواب اصلی فکر کنید: یکی این که عدد در مکان خارجی است، شبیه یک صخره یا یک روح؛ یا آن که در داخل است، اندیشه ای در ذهن یک شخص . فلاسفه از یکی از این دو جواب دفاع کرده اند . این واقعیت رقت انگیز است زیرا هر کسی که کوچکترین دقتی بکند می تواند دریابد که هر دو جواب کاملاً اشتباه هستند . عدد چیزی خارجی نیست، مکانی برای حضور و یا چیزی برای عدد بودن، وجود ندارد.
همچنین فقط یک فکر نیست، زیرا با این همه، چه بدانید یا ندانید، دو و دو، چهار می شود. به این ترتیب در می یابید که سؤال مذکور بر خلاف آنچه در ابتدا به نظر می رسید، نه آن
قدرها ساده و نه آن قدرها بدیهی است . یکی از فلاسفۀ بزرگ ریاضی یعنی گوتلوپ فرگه، مقالۀ کاملی مبنی بر این حقیقت که ریاضی دانان قبل از او معنی یک را نمی دانستند منتشر کرد . یک
چیست؟ هیچ کس به طور دقیق نمی تواند جواب دهد. البته فرگه به سؤال اخیر جواب داد ولی جوابش نه تنها بهتر نبود بلکه از پاسخ های قبلی هم بدتر بود و این چنین بود که این سؤال به عنوان یک سؤال عجیب و باور نکردنی تا امروز باقی ماند . ما همه چیز را درباره آن همه ریاضیات می دانیم، ولی نمی دانیم ریاضیات واقعاً چیست؟ البته وقتی می پرسیم« یک عدد چیست ؟»
چنین سؤالی در مورد یک مثلث، یک مربع، یک دایره، یک تابع دیفرانسیل پذیر یا یک عملگرخودالحاق نیز دقیقاً قابل طرح است . شما در مورد عدد، زیاد می دانید؛ اما عدد چیست؟ چه نوع
چیزی است؟ به هر حال سؤال من این است، یک جواب طولانی به سؤال کوتاه شما.
جان: و جواب سؤال شما چیست؟
هرش: هوم، شما پاسخ را خیلی سریع می خواهید. باید برای یافتن جواب قدری تلاش کنید! من تدریجاً به جواب خواهم رسید. هنگامی که می گویید یک چیز، شئ یا وجود ریاضی کاملاً خارجی است
یعنی مستقل از فکر یا عمل انسان می باشد، و یا داخلی است یعنی یک اندیشه در ذهن شما است – شما نه در مورد اعداد، بلکه تنها در مورد وجود صحبت می کنید- در این صورت منظورتان این است که فقط دو نوع هستی وجود دارد . هر چیزی یا خارجی و یا داخلی است و هیچ یک از این دو انتخاب (دو قطب یا ثنویت) مناسب اعداد نیست، و این دلیل معما بودن آن است.
موضوع با این پیش فرض اشتباه که فقط دو نوع چیز پیرامون ما وجود دارد شکل پیچیده ای به خود گرفته است . اما اگر وانمود کنید که یک فیلسوف نیستید و فقط یک انسان واقع
بین هستید و از شما سؤال شود آن چه که در پیرامونتان می باشد چیست، مثلاً برگ جریمه ای که باید آن را بپردازید، اخبار در تلویزیون، یک مراسم ازدواج که مجبور به شرکت در آن هستید یا یک صورت حساب که باید پرداخت کنید، خوب هیچ یک از این چیزها صرفاً اندیشه ای در ذهن شما نیست و هیچ یک از آن ها نسبت به فکر یا عمل انسان، خارجی نیست . آن ها نوع دیگری از واقعیت هستند و مشکل همین جاست . این نوع واقعیت با وجود این که به خوبی شناخته شده است و از متافیزیک و هستی شناسی مستثنی گردیده است، ولی علوم انسان شناسی و جامعه شناسی با آن سر وکار دارند . اما وقتی از منظر فلسفه نگاه می کنید، این نوع سوم به هیچ گونه مطمح نظر قرار نمی گیرد و حتی رد می شود.
حال که جواب را عرضه کرده ام از آن آگاهید . ریاضیات نه فیزیکی و نه ذهنی است بلکه اجتماعی است . قسمتی از فرهنگ و تاریخ است . شبیه قانون، مذهب، پول و همه چیزهایی
است که خیلی حقیقی اند، اما فقط بخشی از آگاهی انسان اجتماعی را تشکیل می دهند. هم درونی و هم بیرونی است زیرا قسمتی از جامعه و فرهنگ است . درونی نسبت به
جامعه و فرهنگ به عنوان یک کل، بیرونی نسبت به فردی که مجبور به یادگیری آن از کتاب ها و در مدرسه است. این چیزی است که ریاضیات است. اما برای بعضی از ریاضی دانان افلاطونی این موضوع به قدری سنگین است که حتی شروع به درک مطلب تلاش زیادی می طلبد.

ریاضیات متشکل است از مفاهیمی که به طور جنبی و انفرادی وضع شده اند . شاید من انسان گرایانه فکر کنم . زیرا متعلق به گروهی هستم که شبکه ریاضیات انسان گرا نامیده می شود .
انسان گرایی مناسب است زیرا می گوید ریاضیات چیزی انسانی است . هیچ ریاضیاتی بدون آدمیزاد وجود ندارد . بسیاری از مردم فکر می کنند که بیضی ها و اعداد و غیره وجود دارند، خواه مردم دربارۀ آن ها بدانند یا ندانند، این چیزی است که من فکر می کنم اشتباه است. جان: به نظر می رسد که در این جا دربارۀ یک اصل انسان شناسانه از ریاضیات صحبت می کنیم.
هرش: شاید این طور باشد . هرگز در مورد آن فکر نکرده ام. روزی بحثی جدی در دانشگاه نیومکزیکو با یکی از دوستانم که یک فیلسوف علم بود داشتم . او می گفت : اکنون ۹ سیاره وجود دارد و قبل از اینکه انسانی وجود داشته باشد ۹ سیاره وجود داشت. پس عدد ۹ وجود داشته است قبل از اینکه هیچ انسانی وجود داشته باشد.
در این جا اشکالی وجود دارد که مجبورم آن را مشخص کنم . ما اشیا ریاضی شبیه اعداد کوچک ر ا واقعیت ریاضی می بینیم و این مطلب متناقض با این ایده که اعداد اعیانی اجتماعی
هستند به نظر می رسد. شیوۀ حل این مشکل توسط دیگران نیز تذکر داده شده است. ما واژگان عددی را به دو منظور متفاوت به کار می بریم : به عنوان اسامی و به عنوان صفات. این ملاحظه مهم است . وقتی می گوییم ۹ سیب، ۹ یک صفت است . اگر این که ۹ سیب روی میز وجود دارد، حقیقتی خارجی (عینی) باشد آن گاه این که سیب ها قرمزند یا آن ها رسیده اند
یا هر چیز دیگری در مورد آن ها نیز، به همان اندازه حقیقت خارجی (عینی) است و در این حالت واقعاً هیچ مشکل خاصی دربار ه آن ها وجود ندارد . اشیا مشکل ساز می شوند وقتی ما ناآگاهانه و بدون دقت بین تعبیر صفت گونه واژگان ریاضی این جهان حقیقی (مانند عدد ۹) و تجرد محض که درباره اش در کلاس ریاضی صحبت می کنیم، ارتباطی ایجاد می کنیم. این واقعاً همان ۹ نیست ، البته یک بستگی متقابل و یک ارتباط وجود دارد . اما عدد ۹ به عنوان یک شئ مجرد و به عنوان قسمتی از یک دستگاه عددی یک ملک انسانی و یک مخلوق آدمی است و بدون ما وجود ندارد .
وجود ممکن گردآیه هایی از اشیا ۹ تایی یک چیز فیزیکی است که مطمئناً بدون وجود ما وجود دارد. این دو نوع ۹ متفاوتند . به طور مشابه می توانیم بگوییم که یک سیاره گرد است، یک حقیقت عینی، اما مفهوم گردی (گردی ریاضی )، چیز دیگری است . متأسفم از این که فلسفه قطعاً یک فعالیت دل بخواه است . اکثر مردم حتی ریاضی دانان نمی دانند که آیا آن ها دارای فلسفه هستند یا نه، یا فلسفۀ آن ها چیست. مسلماً آن چه آن ها انجام می دهند تحت تأثیر بحث های فلسفی قرار نمی گیرد. این مطلب در بسیاری از زمینه های دیگر درست است . وکیل کاری بودن یک چیز است و فیلسوف بودن چیز دیگر . برای توجیه فعالیت فلسفی باید به سطح عمیق تری رفت، برای مثال همچون گفتۀ سقراط در مورد زندگی تجربه نشده . رقت انگیز است در تمامی زندگیتان ریاضی دان باشید ولی هرگز در نگرانی، در اندیشه یا در بیم آن چه به ریاضیات معنی می دهد نباشید. بسیاری از مردم چنین اند. من این را با شنای روی آب یک ماهی قزل آلا مقایسه می کنم. او می داند چطور در سطح آب شنا کند اما نمی داند چه کاری انجام می دهد و چرا.